Vecteurs, droites et plans de l’espace - Spécialité

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les vecteurs \(\overrightarrow{AB} \left(18;36;-53\right) \) , \(\overrightarrow{CD} \left(-2;3;2\right)\) et \(\overrightarrow{EF} \left(-2;-6;z\right)\).

Donner la valeur de \(z\) pour que \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{EF}\) soient coplanaires.

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les points \(A \left(12;-17;-15\right)\), \(B \left(-31;32;38\right)\), \(C \left(10;-3;-14\right)\) et \(D \left(7;y;-9\right)\).

Donner la valeur de \(y\) pour que \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) soient coplanaires.

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Parmi les quadruplets de points suivants, lesquels sont coplanaires ?

• 1.\(A\left(-18;9;-16\right), \: B\left(1;0;2\right), \: C\left(11;-6;8\right)\: \text{et} \: D\left(4;-1;6\right)\)
• 2.\(A\left(-28;8;-30\right), \: B\left(7;-2;7\right), \: C\left(12;-7;8\right)\: \text{et} \: D\left(7;3;13\right)\)
• 3.\(A\left(3;-2;3\right), \: B\left(8;0;3\right), \: C\left(-13;-2;-3\right)\: \text{et} \: D\left(2;4;-3\right)\)
• 4.\(A\left(1;-3;-5\right), \: B\left(-7;7;-6\right), \: C\left(-4;3;4\right)\: \text{et} \: D\left(-3;2;6\right)\)

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Parmi les triplets de vecteurs suivants, lesquels sont coplanaires ?

• 1.\(\vec{u}\left(-1;5;-6\right)\) , \(\vec{v}\left(2;-54;52\right)\) et \(\vec{w}\left(1;6;-4\right)\)
• 2.\(\vec{u}\left(-6;-6;-6\right)\) , \(\vec{v}\left(-6;-4;6\right)\) et \(\vec{w}\left(7;0;6\right)\)
• 3.\(\vec{u}\left(-2;6;-5\right)\) , \(\vec{v}\left(-5;-5;-6\right)\) et \(\vec{w}\left(-4;-2;1\right)\)
• 4.\(\vec{u}\left(28;-8;-25\right)\) , \(\vec{v}\left(1;-2;-1\right)\) et \(\vec{w}\left(7;2;-6\right)\)

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les vecteurs \(\overrightarrow{AB} \left(0;5;7\right) \) , \(\overrightarrow{CD} \left(-30;20;74\right)\) et \(\overrightarrow{EF} \left(-6;y;5\right)\).

Donner la valeur de \(y\) pour que \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{EF}\) soient coplanaires.